A interação spin-órbita [energia relativista/ dimensões de Graceli].

${\Bigg \langle }{\frac {1}{r^{3}}}{\Bigg \rangle }={\frac {Z^{2}}{a_{o^{2}}n^{2}l{\Bigg (}l+{\frac {1}{2}}{\Bigg )}(l+1)}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

A interação spin-órbita [energia relativista/ dimensões de Graceli].

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.[2]

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

$\Psi _{\text{total}}=\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi ).\chi (spin).e^{-iE_{n}t/\hbar }$

$/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

$\Psi _{\text{total}}={\Bigg |}R_{nl}.e^{-i.E_{n}{\frac {t}{\hbar }}}{\Bigg \rangle }.|l,m\rangle .|s,m_{s}\rangle$ (P) $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

$\lfloor {\hat {L}},{\hat {S}}\rfloor =0$

Neste caso, $\scriptstyle \Psi _{\text{total}}$ é uma auto-função de ambos $\scriptstyle L_{z}$ e $\scriptstyle S_{z}$ e portanto $\scriptstyle m_{l}$ e $\scriptstyle m_{s}$ são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de $\scriptstyle {\vec {L}}$ e $\scriptstyle {\vec {S}}$ são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre $\scriptstyle {\vec {L}}$ e $\scriptstyle {\vec {S}}$ chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza $\scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}$ .

Dado que $\scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}$ não comuta quer com $\scriptstyle {\vec {L}}$ ou com $\scriptstyle {\vec {S}}$ , a equação (P) torna-se incorreta e $\scriptstyle m_{l}$ e $\scriptstyle m_{s}$ deixam de ser bons números quânticos.

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

${\vec {\varepsilon }}={\frac {Ze}{r^{2}}}{\hat {r}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

Onde $\scriptstyle {\hat {r}}$ dirige‐se do núcleo em direção ao electrão.

Assumindo que $\scriptstyle {\vec {v}}$ é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é:

${\vec {j}}=-{\frac {Ze}{c}}{\vec {v}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

${\vec {H}}_{e}=-{\frac {Ze}{c}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\hat {r}}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

${\vec {\omega }}_{e}=\gamma {\vec {H}}_{e}=-{\frac {e}{m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge \varepsilon$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

Com energia potencial

$E_{e}=-{\vec {\mu }}_{s}.{\vec {H}}_{e}=-{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].[2]

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

${\vec {\omega }}_{L}=-{\frac {e}{2m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}$ (T) $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

e por uma energia adicional dada por

$\Delta E=-{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

${\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}=e{\vec {\varepsilon }}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

e então

${\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}={\frac {1}{e}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {v}}\wedge {\vec {r}}={\frac {1}{em_{0}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

A equação (T) torna-se então

${\vec {\omega }}_{L}=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

E a energia adicional

$\Delta E=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}.{\vec {S}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

O produto escalar

${\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar s$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

Para spin = ½

${\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar .{\frac {1}{2}}\hbar ={\frac {1}{2}}m\hbar ^{2}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

A separação energética se torna então

$|\Delta E|={\frac {\hbar ^{2}m}{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

$\Delta E={\frac {\lambda _{c}^{2}mZe^{2}}{r^{3}}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

Onde

$\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

é o comprimento de onda de Compton

$\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}$ ou ${\frac {\lambda _{c}}{2\pi }}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de $\scriptstyle {\frac {1}{r^{3}}}$ i.e.

para $\scriptstyle l\neq 0$

De modo que a separação energética se torna

$\Delta E={\frac {{\bar {\lambda }}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}}$ $/$ $E=mc^{2}$ / $E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$ / $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ $G$

para $\scriptstyle l\neq 0$

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ (Z)

Para o átomo - $Hf=7x10^{15}Hz$ , a qual está na região ultravioleta do espectro electromagnético.

Se o elétron irradia, a energia E irá decrescer tornando-se cada vez negativa e a partir da Equação do raio da órbita r também diminui. O decréscimo em r na Equação (Z), provoca um aumento na frequência f.

De modo que temos um efeito de pista que quando a energia é irradiada, E diminui, o raio orbital r diminui, a qual por sua vez causa um aumento da frequência orbital f e aumentando continuamente a frequência irradiada.

Este modelo planetário prevê que o electrão se mova em espiral para dentro em direção ao núcleo, emitindo um espectro contínuo. Calcula-se que este processo não dure mais do que $1\times 10-8s$ , um tempo muito curto na verdade.

Número quântico principal, n

O número quântico principal pode tomar como valor qualquer número inteiro positivo. Como o próprio nome o sugere, este número quântico é o mais importante, pois o seu valor define a energia do átomo de hidrogênio (e de outro átomo monoelectrónico de carga nuclear Z) por meio da equação:

$E=-{\frac {m\,e^{4}\,Z^{2}}{8\,\varepsilon _{0}^{2}\,n^{2}\,h^{2}}}$

onde m e e são a massa dos nêutrons e a carga do elétron, ε₀ é a permissividade do vácuo, e h é a constante de Planck. Esta equação foi obtida como resultado da equação de Schrodinger e é desigual a uma das equações obtidas por Bohr, utilizando os seus postulados correctos.

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